MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∘\circ definită prin a∘b=a+b−aba \circ b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Studiați dacă (G,∘)(G, \circ) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru orice a,b∈Ga, b \in G, arătați că a∘b∈Ga \circ b \in G, adică a∘b≠1a \circ b \neq 1.
23 puncte
Verificați asociativitatea: pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, demonstrați că (a∘b)∘c=a∘(b∘c)(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).
32 puncte
Determinați elementul neutru ee rezolvând a∘e=aa \circ e = a și e∘a=ae \circ a = a; obțineți e=0e=0 și verificați că 0∈G0 \in G.
42 puncte
Pentru fiecare a∈Ga \in G, găsiți inversul a′a' rezolvând a∘a′=0a \circ a' = 0; obțineți a′=−a1−aa' = -\frac{a}{1-a} și verificați că a′∈Ga' \in G.
51 punct
Concluzionați că (G,∘)(G, \circ) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.