MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm că operația ∗* este bine definită pe GG: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=x+y+xy∈Rx * y = x + y + xy \in \mathbb{R} și trebuie arătat că x∗y≠−1x * y \neq -1. Presupunând prin absurd că x+y+xy=−1x + y + xy = -1, obținem (x+1)(y+1)=0(x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, ceea ce contrazice x,y∈Gx, y \in G. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Demonstrăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=x+e+xe=xx * e = x + e + xe = x, obținem e(1+x)=0e(1+x)=0. Pentru x≠−1x \neq -1, avem e=0e=0. Verificăm: 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru și 0∈G0 \in G.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x−1x^{-1} astfel încât x∗x−1=0x * x^{-1} = 0. Din x+x−1+xx−1=0x + x^{-1} + x x^{-1} = 0, obținem x−1(1+x)=−xx^{-1}(1+x) = -x, deci x−1=−x1+xx^{-1} = \frac{-x}{1+x} pentru x≠−1x \neq -1. Verificăm că x−1∈Gx^{-1} \in G: dacă −x1+x=−1\frac{-x}{1+x} = -1, atunci −x=−1−x-x = -1 - x, adică 0=−10=-1, fals. Așadar, x−1x^{-1} există și aparține lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.