MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Arătăm că x∗y≠1x * y \neq 1; dacă prin absurd x+y−xy=1x + y - xy = 1, atunci (x−1)(y−1)=0(x-1)(y-1)=0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, contradicție cu x,y∈Gx, y \in G. Astfel, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât e∗x=xe * x = x pentru orice x∈Gx \in G. Din e∗x=e+x−ex=xe * x = e + x - ex = x, obținem e(1−x)=0e(1-x)=0, deci e=0e=0 (deoarece x≠1x \neq 1). Verificăm că 0∈G0 \in G și că 0∗x=x∗0=x0 * x = x * 0 = x.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Din x+x′−xx′=0x + x' - xx' = 0, rezultă x′(1−x)=−xx'(1-x) = -x, deci x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1} (pentru x≠1x \neq 1, ceea ce este adevărat). Verificăm că x′∈Gx' \in G: x′≠1x' \neq 1 deoarece xx−1=1\frac{x}{x-1} = 1 implică x=x−1x = x-1, imposibil. Astfel, (G,∗)(G, *) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.