MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația ∗* definită prin (a+b2)∗(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2(a + b\sqrt{2}) * (c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}. Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verifică că operația ∗* este închisă pe MM, adică pentru orice a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}, (ac+2bd)+(ad+bc)2∈M(ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2} \in M.
23 puncte
Demonstrează asociativitatea operației ∗*, adică pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) prin calcul direct sau utilizarea proprietăților operațiilor cu numere reale.
32 puncte
Găsește elementul neutru e=1+0⋅2∈Me = 1 + 0\cdot\sqrt{2} \in M astfel încât e∗x=x∗e=xe * x = x * e = x pentru orice x∈Mx \in M.
42 puncte
Pentru fiecare x=a+b2∈Mx = a + b\sqrt{2} \in M, determină inversul x−1=a−b2a2−2b2x^{-1} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2} (cu verificarea că a2−2b2≠0a^2 - 2b^2 \neq 0 pentru x≠0x \neq 0) și arată că x∗x−1=x−1∗x=ex * x^{-1} = x^{-1} * x = e.
51 punct
Arată că operația ∗* este comutativă, adică pentru orice x,y∈Mx,y \in M, x∗y=y∗xx * y = y * x, deoarece (a+b2)∗(c+d2)=(c+d2)∗(a+b2)(a + b\sqrt{2}) * (c + d\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) * (a + b\sqrt{2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.