MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie grupul (C∗,⋅)(\mathbb{C}^*, \cdot) al numerelor complexe nenule înmulțire. Considerăm mulțimea H={z∈C∗∣∃ n∈N∗ astfel ıˆncaˆt zn=1}H = \{ z \in \mathbb{C}^* \mid \exists \, n \in \mathbb{N}^* \text{ astfel încât } z^n = 1 \}. Demonstrați că HH este un subgrup al lui C∗\mathbb{C}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătați că 1∈H1 \in H deoarece 11=11^1 = 1.
24 puncte
Fie z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H; există n1,n2∈N∗n_1, n_2 \in \mathbb{N}^* cu z1n1=1z_1^{n_1} = 1 și z2n2=1z_2^{n_2} = 1. Arătați că (z1z2)n1n2=z1n1n2z2n1n2=(z1n1)n2(z2n2)n1=1⋅1=1(z_1 z_2)^{n_1 n_2} = z_1^{n_1 n_2} z_2^{n_1 n_2} = (z_1^{n_1})^{n_2} (z_2^{n_2})^{n_1} = 1 \cdot 1 = 1, deci z1z2∈Hz_1 z_2 \in H.
33 puncte
Fie z∈Hz \in H cu zn=1z^n = 1 pentru un n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Atunci (z−1)n=(zn)−1=1−1=1(z^{-1})^n = (z^n)^{-1} = 1^{-1} = 1, deci z−1∈Hz^{-1} \in H.
41 punct
Concluzionați că HH este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.