MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea R2\mathbb{R}^2 și operația ∗\ast definită prin (a,b)∗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \ast (c,d) = (a+c, b+d + ac) pentru orice (a,b),(c,d)∈R2(a,b), (c,d) \in \mathbb{R}^2. Arătați că (R2,∗)(\mathbb{R}^2, \ast) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice (a,b),(c,d)∈R2(a,b), (c,d) \in \mathbb{R}^2, rezultatul (a+c,b+d+ac)(a+c, b+d+ac) este în R2\mathbb{R}^2, deci operația este bine definită.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(a+c,b+d+ac)∗(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+(a+c)e)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce)((a,b) \ast (c,d)) \ast (e,f) = (a+c, b+d+ac) \ast (e,f) = (a+c+e, b+d+ac+f+(a+c)e) = (a+c+e, b+d+ac+f+ae+ce). Apoi, (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(c+e,d+f+ce)=(a+c+e,b+d+f+ce+a(c+e))=(a+c+e,b+d+f+ce+ac+ae)(a,b) \ast ((c,d) \ast (e,f)) = (a,b) \ast (c+e, d+f+ce) = (a+c+e, b+d+f+ce+a(c+e)) = (a+c+e, b+d+f+ce+ac+ae). Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru. Fie (e,f)(e,f) astfel încât (a,b)∗(e,f)=(a,b)(a,b) \ast (e,f) = (a,b). Obținem (a+e,b+f+ae)=(a,b)(a+e, b+f+ae) = (a,b), deci a+e=aa+e=a și b+f+ae=bb+f+ae=b. Din prima ecuație, e=0e=0. Înlocuind e=0e=0 în a doua, b+f+0=bb+f+0=b, deci f=0f=0. Verificăm că (0,0)∗(a,b)=(0+a,0+b+0⋅a)=(a,b)(0,0) \ast (a,b) = (0+a, 0+b+0\cdot a) = (a,b), deci (0,0)(0,0) este elementul neutru.
42 puncte
Căutăm inversul. Pentru (a,b)(a,b), găsim (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)∗(x,y)=(0,0)(a,b) \ast (x,y) = (0,0). Obținem (a+x,b+y+ax)=(0,0)(a+x, b+y+ax) = (0,0), deci a+x=0a+x=0 și b+y+ax=0b+y+ax=0. Din prima, x=−ax=-a. Înlocuind în a doua, b+y+a(−a)=0b+y+a(-a)=0, deci y=a2−by = a^2 - b. Verificăm că (x,y)∗(a,b)=(−a,a2−b)∗(a,b)=(−a+a,a2−b+b+(−a)a)=(0,a2−b+b−a2)=(0,0)(x,y) \ast (a,b) = (-a, a^2-b) \ast (a,b) = (-a+a, a^2-b+b+(-a)a) = (0, a^2 - b + b - a^2) = (0,0). Deci inversul lui (a,b)(a,b) este (−a,a2−b)(-a, a^2-b).
51 punct
Concluzionăm că toate proprietățile de grup sunt verificate, deci (R2,∗)(\mathbb{R}^2, \ast) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.