MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTeoria Mulțimilor
Fie nn un număr natural nenul. Considerăm mulțimea Un={z∈C∣zn=1}U_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \} a rădăcinilor de ordinul nn ale unității. Arătați că (Un,⋅)(U_n, \cdot) este un grup ciclic. Determinați un generator al acestui grup și demonstrați că orice subgrup al lui UnU_n este ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Închidere: dacă z1,z2∈Unz_1, z_2 \in U_n, atunci (z1z2)n=z1nz2n=1⋅1=1(z_1 z_2)^n = z_1^n z_2^n = 1 \cdot 1 = 1, deci z1z2∈Unz_1 z_2 \in U_n. Elementul neutru este 1∈Un1 \in U_n deoarece 1n=11^n = 1.
22 puncte
Invers: dacă z∈Unz \in U_n, atunci zn=1z^n = 1, deci z−1=zn−1z^{-1} = z^{n-1} și (z−1)n=(zn)−1=1(z^{-1})^n = (z^n)^{-1} = 1, deci z−1∈Unz^{-1} \in U_n.
33 puncte
UnU_n este ciclic. O rădăcină primitivă, de exemplu ϵ=cos⁡2πn+isin⁡2πn\epsilon = \cos\frac{2\pi}{n} + i\sin\frac{2\pi}{n}, generează întregul grup: ϵk\epsilon^k pentru k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1 sunt distincte și acoperă UnU_n.
43 puncte
Fie HH un subgrup al lui UnU_n. Deoarece UnU_n este ciclic generat de ϵ\epsilon, HH este subgrup al unui grup ciclic. Se știe că orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic. Mai precis, dacă dd este cel mai mic exponent pozitiv astfel încât ϵd∈H\epsilon^d \in H, atunci H=⟨ϵd⟩H = \langle \epsilon^d \rangle.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.