MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Considerați grupul (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6) al numerelor întregi modulo 6 cu adunarea modulo 6. a) Enumerați toate elementele grupului și determinați ordinul fiecărui element. b) Determinați toate subgrupurile lui (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6). c) Arătați că (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6) este ciclic și găsiți un generator.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Elementele grupului sunt Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}. Ordinul unui element aa este cel mai mic număr întreg pozitiv nn astfel încât n⋅a≡0(mod6)n \cdot a \equiv 0 \pmod{6}. Calculați: ordinul lui 00 este 11 (deoarece 1⋅0=01 \cdot 0 = 0), ordinul lui 11 este 66 (6⋅1=6≡06 \cdot 1 = 6 \equiv 0), ordinul lui 22 este 33 (3⋅2=6≡03 \cdot 2 = 6 \equiv 0), ordinul lui 33 este 22 (2⋅3=6≡02 \cdot 3 = 6 \equiv 0), ordinul lui 44 este 33 (3⋅4=12≡03 \cdot 4 = 12 \equiv 0), ordinul lui 55 este 66 (6⋅5=30≡06 \cdot 5 = 30 \equiv 0).
24 puncte
Subgrupurile lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt generate de divizorii lui 66. Subgrupul trivial este {0}\{0\}. Subgrupul generat de 22: ⟨2⟩={0,2,4}\langle 2 \rangle = \{0,2,4\} (deoarece 2,4,6≡02, 4, 6\equiv0). Subgrupul generat de 33: ⟨3⟩={0,3}\langle 3 \rangle = \{0,3\}. Întregul grup Z6\mathbb{Z}_6 este subgrupul generat de 11 sau 55. Acestea sunt toate subgrupurile.
33 puncte
Grupul este ciclic deoarece există elemente de ordin 66, care este ordinul grupului. Un generator este un element de ordin 66, de exemplu 11 sau 55. Demonstrați că ⟨1⟩=Z6\langle 1 \rangle = \mathbb{Z}_6: 1,2⋅1=2,3⋅1=3,4⋅1=4,5⋅1=5,6⋅1=01, 2\cdot1=2, 3\cdot1=3, 4\cdot1=4, 5\cdot1=5, 6\cdot1=0, deci generează toate elementele.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.