MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieMatematică aplicată
Fie nn un număr natural nenul. Considerăm mulțimea Zn={0,1,2,…,n−1}\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, \dots, n-1\} cu operația de adunare modulo nn, notată +n+_n. a) Demonstrați că (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) este un grup. b) Pentru n=6n=6, determinați toți generatorii grupului (Z6,+6)(\mathbb{Z}_6, +_6).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verifică axiomele grupului pentru (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n): închiderea (suma modulo nn rămâne în Zn\mathbb{Z}_n), asociativitatea (urmează din asociativitatea adunării întregilor), existența elementului neutru 00 (pentru orice a∈Zna \in \mathbb{Z}_n, a+n0=aa +_n 0 = a), și existența inversului n−an-a pentru fiecare a∈Zna \in \mathbb{Z}_n (cu a+n(n−a)=0a +_n (n-a) = 0).
23 puncte
Arată că grupul (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) este ciclic, generat de elementul 11, și explică că un element a∈Zna \in \mathbb{Z}_n este generator dacă și numai dacă gcd⁡(a,n)=1\gcd(a,n)=1, deoarece ordinea lui aa este n/gcd⁡(a,n)n / \gcd(a,n).
34 puncte
Pentru n=6n=6, calculează gcd⁡(a,6)\gcd(a,6) pentru fiecare a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6: gcd⁡(0,6)=6\gcd(0,6)=6, gcd⁡(1,6)=1\gcd(1,6)=1, gcd⁡(2,6)=2\gcd(2,6)=2, gcd⁡(3,6)=3\gcd(3,6)=3, gcd⁡(4,6)=2\gcd(4,6)=2, gcd⁡(5,6)=1\gcd(5,6)=1. Identifică generatorii ca elementele cu gcd⁡(a,6)=1\gcd(a,6)=1, adică 11 și 55.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.