MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Se consideră grupul (Z12,+)(\mathbb{Z}_{12}, +). a) Determinați ordinul fiecărui element din Z12\mathbb{Z}_{12}. b) Rezolvați ecuația 5x=35x = 3 în Z12\mathbb{Z}_{12}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Elementele lui Z12\mathbb{Z}_{12} sunt {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}.
25 puncte
Calculul ordinului: ordinul unui element aa este cel mai mic întreg pozitiv nn astfel încât n⋅a≡0(mod12)n \cdot a \equiv 0 \pmod{12}. Rezultate: ordin(0)=1\text{ordin}(0)=1, ordin(1)=12\text{ordin}(1)=12, ordin(2)=6\text{ordin}(2)=6, ordin(3)=4\text{ordin}(3)=4, ordin(4)=3\text{ordin}(4)=3, ordin(5)=12\text{ordin}(5)=12, ordin(6)=2\text{ordin}(6)=2, ordin(7)=12\text{ordin}(7)=12, ordin(8)=3\text{ordin}(8)=3, ordin(9)=4\text{ordin}(9)=4, ordin(10)=6\text{ordin}(10)=6, ordin(11)=12\text{ordin}(11)=12.
33 puncte
Rezolvarea ecuației 5x≡3(mod12)5x \equiv 3 \pmod{12}: găsim inversul lui 5 modulo 12. Deoarece gcd⁡(5,12)=1\gcd(5,12)=1, inversul există; 5⋅5=25≡1(mod12)5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{12}, deci inversul lui 5 este 5. Înmulțim ecuația cu 5: x≡5⋅3=15≡3(mod12)x \equiv 5 \cdot 3 = 15 \equiv 3 \pmod{12}. Soluția este x=3x = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.