MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu elementul neutru ee. Pentru un element fixat a∈Ga \in G, definim aplicația fa:G→Gf_a : G \to G, fa(x)=a∗x∗a−1f_a(x) = a * x * a^{-1} pentru orice x∈Gx \in G. Demonstrați că faf_a este un automorfism al grupului GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că faf_a este omomorfism: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, fa(x∗y)=a∗(x∗y)∗a−1=(a∗x∗a−1)∗(a∗y∗a−1)=fa(x)∗fa(y)f_a(x * y) = a * (x * y) * a^{-1} = (a * x * a^{-1}) * (a * y * a^{-1}) = f_a(x) * f_a(y).
22 puncte
Arătăm că faf_a este injectivă: dacă fa(x)=fa(y)f_a(x) = f_a(y), atunci a∗x∗a−1=a∗y∗a−1a * x * a^{-1} = a * y * a^{-1}, deci înmulțind la stânga cu a−1a^{-1} și la dreapta cu aa, obținem x=yx = y.
32 puncte
Arătăm că faf_a este surjectivă: pentru orice y∈Gy \in G, există x=a−1∗y∗ax = a^{-1} * y * a astfel încât fa(x)=a∗(a−1∗y∗a)∗a−1=yf_a(x) = a * (a^{-1} * y * a) * a^{-1} = y.
42 puncte
Conchidem că faf_a este bijectivă și omomorfism, deci automorfism.
52 puncte
Observație: faf_a se numește automorfism interior.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.