MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Pentru grupul simetric S3S_3, determinați toate subgrupurile sale și arătați care dintre ele sunt subgrupuri normale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Enumeră elementele lui S3S_3: S3={id,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}S_3 = \{ \text{id}, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \}, unde notația este cea ciclică pentru permutări.
24 puncte
Identifică subgrupurile: ordinul lui S3S_3 este 6, deci posibilele ordine pentru subgrupuri sunt 1, 2, 3, 6 (conform teoremei lui Lagrange). Subgrupurile sunt: subgrupul trivial {id}\{ \text{id} \} (ordin 1), subgrupurile de ordin 2 generate de transpoziții: {id,(1 2)}\{ \text{id}, (1\ 2) \}, {id,(1 3)}\{ \text{id}, (1\ 3) \}, {id,(2 3)}\{ \text{id}, (2\ 3) \}, subgrupul de ordin 3 generat de ciclurile de lungime 3: {id,(1 2 3),(1 3 2)}\{ \text{id}, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \}, și subgrupul total S3S_3 (ordin 6).
34 puncte
Verifică normalitatea: un subgrup HH al lui S3S_3 este normal dacă gHg−1=HgHg^{-1} = H pentru orice g∈S3g \in S_3. Subgrupul trivial {id}\{ \text{id} \} și subgrupul total S3S_3 sunt normale. Subgrupul {id,(1 2 3),(1 3 2)}\{ \text{id}, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2) \} este normal deoarece este singurul subgrup de ordin 3 (indice 2, deci normal). Subgrupurile de ordin 2 nu sunt normale: de exemplu, pentru H={id,(1 2)}H = \{ \text{id}, (1\ 2) \} și g=(1 3)g = (1\ 3), avem g(1 2)g−1=(1 3)(1 2)(1 3)=(2 3)∉Hg(1\ 2)g^{-1} = (1\ 3)(1\ 2)(1\ 3) = (2\ 3) \notin H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.