MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup cu proprietatea că pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x2y2=(xy)2x^2 y^2 = (xy)^2. Demonstrați că GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția dată: x2y2=(xy)2x^2 y^2 = (xy)^2. Dar (xy)2=xyxy(xy)^2 = xyxy, deci x2y2=xyxyx^2 y^2 = xyxy.
23 puncte
Înmulțim la stânga cu x−1x^{-1}: x−1x2y2=x−1xyxy⇒xy2=yxyx^{-1} x^2 y^2 = x^{-1} xyxy \Rightarrow x y^2 = y x y. Apoi înmulțim la dreapta cu y−1y^{-1}: xy2y−1=yxyy−1⇒xy=yxx y^2 y^{-1} = y x y y^{-1} \Rightarrow x y = y x.
32 puncte
Egalitatea xy=yxxy = yx este valabilă pentru orice x,y∈Gx, y \in G.
42 puncte
Prin urmare, operația grupului este comutativă, deci GG este un grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.