MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea G={A=(ab01)∣a∈R∗,b∈R}G = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \right\}. Verificați dacă (G,⋅)(G, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea operației. Pentru orice A,B∈GA, B \in G, cu A=(ab01)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(cd01)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, calculăm A⋅B=(acad+b01)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac & ad+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în GG deoarece ac∈R∗ac \in \mathbb{R}^* și ad+b∈Rad+b \in \mathbb{R}.
22 puncte
Asociativitatea este împrumutată de la înmulțirea matricelor, deoarece operația este compunerea matricelor.
32 puncte
Căutăm elementul neutru. Fie E=(ef01)E = \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & 1 \end{pmatrix} astfel încât A⋅E=AA \cdot E = A și E⋅A=AE \cdot A = A. Din A⋅E=AA \cdot E = A, avem (ab01)(ef01)=(aeaf+b01)=(ab01)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci ae=aae = a și af+b=baf+b = b. Cum a≠0a \neq 0, obținem e=1e=1 și f=0f=0. Verificăm și pentru E⋅AE \cdot A, care dă același rezultat. Deci elementul neutru este I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
42 puncte
Căutăm inversul unui element AA. Fie A−1=(xy01)A^{-1} = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} astfel încât A⋅A−1=IA \cdot A^{-1} = I. Avem (ab01)(xy01)=(axay+b01)=(1001)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & ay+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci ax=1ax=1 și ay+b=0ay+b=0. Din ax=1ax=1, cum a≠0a \neq 0, avem x=1ax = \frac{1}{a}. Din ay+b=0ay+b=0, avem y=−bay = -\frac{b}{a}. Verificăm și că A−1⋅A=IA^{-1} \cdot A = I. Deci inversul există și este A−1=(1a−ba01)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în GG deoarece 1a∈R∗\frac{1}{a} \in \mathbb{R}^* și −ba∈R-\frac{b}{a} \in \mathbb{R}.
52 puncte
Concluzionăm că toate axiomele grupului sunt satisfăcute, deci (G,⋅)(G, \cdot) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.