MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și H⊆GH \subseteq G o submulțime nevidă astfel încât pentru orice a,b∈Ha, b \in H, avem a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H. Demonstrați că HH este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se ia un element a∈Ha \in H (există deoarece HH este nevidă). Atunci a⋅a−1=e∈Ha \cdot a^{-1} = e \in H, deci elementul neutru aparține lui HH.
23 puncte
Pentru a arăta că HH conține inversele, fie a∈Ha \in H. Din e∈He \in H (din step 1) și a∈Ha \in H, aplicând ipoteza cu b=eb = e, obținem e⋅a−1=a−1∈He \cdot a^{-1} = a^{-1} \in H.
33 puncte
Pentru închiderea operației, fie a,b∈Ha, b \in H. Din step 2, b−1∈Hb^{-1} \in H, deci aplicând ipoteza pentru aa și b−1b^{-1}, avem a⋅(b−1)−1=a⋅b∈Ha \cdot (b^{-1})^{-1} = a \cdot b \in H.
42 puncte
Concluzie: HH este nevidă, închisă față de operație și conține inversele, deci este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.