MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că GG este un grup în raport cu înmulțirea matricelor. Apoi, determinați dacă mulțimea H={A∈G∣A=(ab0a−1),a∈R∖{0},b∈R}H = \{ A \in G \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, b \in \mathbb{R} \} este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificarea că GG este grup: înmulțirea matricelor este asociativă; elementul neutru este I2=(1001)∈GI_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G deoarece det⁡(I2)=1\det(I_2)=1; pentru fiecare A∈GA \in G, există A−1A^{-1} cu det⁡(A−1)=1\det(A^{-1})=1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.
23 puncte
Verificarea că HH este parte stabilă a lui GG: pentru orice A,B∈HA, B \in H, cu A=(ab0a−1)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} și B=(cd0c−1)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c^{-1} \end{pmatrix}, produsul AB=(acad+bc−10(ac)−1)AB = \begin{pmatrix} ac & ad + bc^{-1} \\ 0 & (ac)^{-1} \end{pmatrix} are forma cerută și det⁡(AB)=1\det(AB)=1, deci AB∈HAB \in H.
33 puncte
Verificarea că HH conține inversa fiecărui element: pentru A=(ab0a−1)∈HA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \in H, inversa este A−1=(a−1−b0a)A^{-1} = \begin{pmatrix} a^{-1} & -b \\ 0 & a \end{pmatrix}, care are forma cerută și det⁡(A−1)=1\det(A^{-1})=1, deci A−1∈HA^{-1} \in H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.