MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră mulțimea M={−1,0,1}M = \{-1, 0, 1\} și operația ⋆\star definită prin x⋆y=x+y1+xyx \star y = \frac{x + y}{1 + xy}, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Să se studieze dacă (M,⋆)(M, \star) formează grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii operației: se calculează x⋆yx \star y pentru toate perechile x,y∈Mx, y \in M și se observă că rezultatele sunt în MM; de exemplu, (−1)⋆0=−1(-1) \star 0 = -1, 1⋆1=22=11 \star 1 = \frac{2}{2}=1, etc.
23 puncte
Verificarea asociativității: se arată că (x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x \star y) \star z = x \star (y \star z) pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M prin calcul direct sau manipulare algebrică.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: se rezolvă e⋆x=xe \star x = x pentru x∈Mx \in M și se obține e=0e=0, deoarece 0⋆x=x0 \star x = x.
42 puncte
Găsirea inverselor: pentru fiecare x∈Mx \in M, se găsește y∈My \in M astfel încât x⋆y=0x \star y = 0; de exemplu, pentru x=−1x=-1, y=1y=1 deoarece (−1)⋆1=0(-1) \star 1 = 0.
51 punct
Concluzia: (M,⋆)(M, \star) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.