MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup și determinați toate subgrupurile sale finite.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Arătăm că GG este închisă la înmulțire: pentru z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.\n
22 puncte
Asociativitatea rezultă direct din asociativitatea înmulțirii numerelor complexe.\n
31 punct
Elementul neutru este 1∈G1 \in G, deoarece z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z pentru orice z∈Gz \in G.\n
42 puncte
Inversul lui z∈Gz \in G este z‾\overline{z} sau 1/z1/z, iar ∣z‾∣=∣z∣=1|\overline{z}| = |z| = 1, deci z‾∈G\overline{z} \in G.\n
53 puncte
Subgrupurile finite sunt exact mulțimile rădăcinilor de ordin nn ale unității, adică {e2πik/n∣k=0,1,…,n−1}\{ e^{2\pi i k / n} \mid k = 0, 1, \dots, n-1 \} pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.