MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a, b) * (c, d) = (ac, ad + b). Să se verifice dacă (G,∗)(G, *) formează un grup. Dacă da, să se determine elementul neutru și simetricul unui element (a,b)∈G(a, b) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈G(a,b), (c,d), (e,f) \in G, avem ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad + b). Pe de altă parte, (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b). Cele două sunt egale, deci operația este asociativă.
22 puncte
Căutăm elementul neutru e=(x,y)e=(x,y) astfel încât (a,b)∗(x,y)=(a,b)(a,b)*(x,y)=(a,b) și (x,y)∗(a,b)=(a,b)(x,y)*(a,b)=(a,b). Din (a,b)∗(x,y)=(ax,ay+b)=(a,b)(a,b)*(x,y) = (ax, ay+b) = (a,b) rezultă ax=aax=a și ay+b=bay+b=b. Cum a≠0a \neq 0, avem x=1x=1 și ay=0ay=0, deci y=0y=0. Verificăm că (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b). Așadar, elementul neutru este (1,0)(1,0).
33 puncte
Pentru un element (a,b)∈G(a,b) \in G, căutăm simetricul (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b)*(a',b') = (1,0). Avem (a,b)∗(a′,b′)=(aa′,ab′+b)=(1,0)(a,b)*(a',b') = (aa', ab' + b) = (1,0). Deci aa′=1aa'=1 și ab′+b=0ab'+b=0. Din aa′=1aa'=1, cum a≠0a \neq 0, avem a′=1aa' = \frac{1}{a}. Atunci a⋅b′+b=0a \cdot b' + b = 0 implică b′=−bab' = -\frac{b}{a}. Simetricul este (1a,−ba)(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}).
42 puncte
Am verificat asociativitatea, existența elementului neutru și a simetricului pentru fiecare element. Mulțimea GG este parte stabilă deoarece dacă a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, atunci ac≠0ac \neq 0. Prin urmare, (G,∗)(G,*) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.