MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie M={(ab0a)∣a,b∈R,a≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup. Determinați centrul acestui grup (mulțimea matricelor din MM care comută cu toate elementele lui MM).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: fie A=(ab0a)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} și B=(cd0c)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} din MM, cu a,c≠0a, c \neq 0. Atunci A⋅B=(acad+bc0ac)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac & ad + bc \\ 0 & ac \end{pmatrix}. Deoarece ac≠0ac \neq 0, rezultă A⋅B∈MA \cdot B \in M.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor.
32 puncte
Elementul neutru: matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} aparține lui MM (pentru a=1,b=0a=1, b=0) și verifică A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A pentru orice A∈MA \in M.
43 puncte
Elementul simetric: pentru A=(ab0a)∈MA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \in M, determinantul este det⁡(A)=a2≠0\det(A) = a^2 \neq 0, deci AA este inversabilă. Inversa este A−1=1a2(a−b0a)=(1a−ba201a)A^{-1} = \frac{1}{a^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}, care aparține lui MM (pentru că 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0).
52 puncte
Centrul: fie X=(xy0x)∈MX = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} \in M care comută cu toate A∈MA \in M. Pentru A=(ab0a)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, condiția X⋅A=A⋅XX \cdot A = A \cdot X devine (axay+bx0ax)=(axbx+ay0ax)\begin{pmatrix} ax & ay + bx \\ 0 & ax \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax & bx + ay \\ 0 & ax \end{pmatrix}. Identificând, obținem ay+bx=bx+ayay + bx = bx + ay pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} cu a≠0a \neq 0. Aceasta este mereu adevărată, deci singura condiție este x≠0x \neq 0. Așadar, centrul este întregul grup MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.