MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={(a,b)∈R2∣a≠0}G = \{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \mid a \neq 0 \} și operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Arătați că (G,∗)(G, *) este grup. Este acest grup comutativ?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, avem a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci ac≠0ac \neq 0, astfel (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G.
23 puncte
Verificarea asociativității: pentru (a,b),(c,d),(e,f)∈G(a,b), (c,d), (e,f) \in G, calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d) + b) = (ace, acf + ad + b), deci sunt egale.
32 puncte
Găsirea elementului neutru: căutăm (e1,e2)(e_1,e_2) astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b)*(e_1,e_2) = (a,b) pentru orice (a,b)(a,b). Rezolvând ae1=aae_1 = a și ae2+b=bae_2 + b = b, obținem e1=1e_1=1 și e2=0e_2=0, deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
42 puncte
Găsirea elementelor inverse: pentru (a,b)(a,b), căutăm (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)∗(x,y)=(1,0)(a,b)*(x,y) = (1,0). Rezolvând ax=1ax=1 și ay+b=0ay + b = 0, obținem x=1/ax=1/a și y=−b/ay=-b/a, deci inversul este (1/a,−b/a)(1/a, -b/a).
51 punct
Verificarea comutativității: operația nu este comutativă, de exemplu (1,1)∗(2,0)=(2,1⋅0+1)=(2,1)(1,1)*(2,0) = (2, 1\cdot0 + 1) = (2,1), iar (2,0)∗(1,1)=(2,2⋅1+0)=(2,2)(2,0)*(1,1) = (2, 2\cdot1 + 0) = (2,2), care sunt diferite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.