MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriTeoria Mulțimilor
Fie G=(Z12,+)G = (\mathbb{Z}_{12}, +) grupul aditiv al claselor de resturi modulo 12. Determinați toate subgrupurile lui GG și arătați că acestea sunt ciclice. Apoi, calculați ordinul fiecărui subgrup.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplică teorema lui Lagrange: ordinul unui subgrup trebuie să dividă ordinul grupului, care este 12, deci ordinele posibile sunt divizorii lui 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
24 puncte
Pentru fiecare divizor dd al lui 12, subgrupul corespunzător este generat de un element de ordin dd: pentru d=1d=1, subgrupul trivial {0ˉ}\{\bar{0}\}; pentru d=2d=2, subgrupul generat de 6ˉ\bar{6} (element de ordin 2); pentru d=3d=3, generat de 4ˉ\bar{4}; pentru d=4d=4, generat de 3ˉ\bar{3}; pentru d=6d=6, generat de 2ˉ\bar{2}; și pentru d=12d=12, întregul grup generat de 1ˉ\bar{1}. Se listează explicit elementele fiecărui subgrup.
33 puncte
Verifică că fiecare subgrup este ciclic, deoarece este generat de un singur element, și calculează ordinul fiecăruia confirmând că sunt divizorii lui 12: ordinul subgrupului generat de kˉ\bar{k} este 12gcd⁡(k,12)\frac{12}{\gcd(k,12)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.