MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriFuncția de gradul I
Considerăm mulțimea H={f:R→R∣f(x)=ax+b,a,b∈R,a≠0}H = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax + b, a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} cu operația de compunere a funcțiilor. Arătați că (H,∘)(H, \circ) este un grup. Este acest grup comutativ?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru f(x)=ax+bf(x)=ax+b și g(x)=cx+dg(x)=cx+d cu a,c≠0a,c \neq 0, (f∘g)(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)(f \circ g)(x) = a(cx+d)+b = acx + (ad+b), iar ac≠0ac \neq 0, deci f∘g∈Hf \circ g \in H.
23 puncte
Asociativitatea: compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă.
32 puncte
Elementul neutru este funcția identitate id(x)=xid(x)=x, care aparține lui HH cu a=1,b=0a=1, b=0.
42 puncte
Inversul: pentru f(x)=ax+bf(x)=ax+b, inversa este f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}, care este de forma cx+dcx+d cu c=1/a≠0c=1/a \neq 0 și d=−b/ad=-b/a, deci f−1∈Hf^{-1} \in H.
51 punct
Comutativitatea: grupul nu este comutativ; de exemplu, pentru f(x)=2x+1f(x)=2x+1 și g(x)=x+2g(x)=x+2, avem (f∘g)(x)≠(g∘f)(x)(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.