MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și a,b∈Ga, b \in G astfel încât a2=b2=ea^2 = b^2 = e și ab=baab = ba, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că subgrupul generat de {a,b}\{a, b\} are cel mult 4 elemente și descrieți-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Subgrupul generat de {a,b}\{a, b\} este mulțimea tuturor produselor finite ale lui aa și bb și inversele acestora.
23 puncte
Din a2=ea^2 = e și b2=eb^2 = e, rezultă că a−1=aa^{-1} = a și b−1=bb^{-1} = b. Din ab=baab = ba, operația este comutativă pentru aa și bb.
33 puncte
Folosind comutativitatea și ordinele finite, orice element se scrie ca aibja^i b^j cu i,j∈{0,1}i, j \in \{0,1\}, deci elementele posibile sunt e,a,b,abe, a, b, ab. Astfel, subgrupul are cel mult 4 elemente.
42 puncte
Dacă a≠ea \neq e, b≠eb \neq e și a≠ba \neq b, atunci aceste 4 elemente sunt distincte, iar subgrupul este izomorf cu Z2×Z2\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.