MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și grupul (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) unde +n+_n este adunarea modulo nn. a) Demonstrați că orice subgrup al lui (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) este ciclic. b) Determinați numărul de subgrupuri distincte ale grupului Z12\mathbb{Z}_{12}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Zn\mathbb{Z}_n este grup ciclic generat de 11, deoarece orice element a∈Zna \in \mathbb{Z}_n se poate scrie ca a=1+n1+n⋯+n1a = 1 +_n 1 +_n \dots +_n 1 (aa ori).
22 puncte
Fie HH un subgrup al lui Zn\mathbb{Z}_n. Considerăm d=min⁡{k∈N∗∣kmod  n∈H}d = \min\{ k \in \mathbb{N}^* \mid k \mod n \in H \} dacă H≠{0}H \neq \{0\}, altfel H={0}H = \{0\} este ciclic.
33 puncte
Arătăm că H=⟨d⟩H = \langle d \rangle: pentru orice h∈Hh \in H, există q,r∈Zq, r \in \mathbb{Z} cu h=qd+rh = qd + r și 0≤r<d0 \leq r < d; deoarece r=h−qd∈Hr = h - qd \in H și dd minim, rezultă r=0r = 0, deci h=qdh = qd, adică h∈⟨d⟩h \in \langle d \rangle.
41 punct
Deci HH este generat de dd, deci este ciclic.
52 puncte
Pentru Z12\mathbb{Z}_{12}, subgrupurile sunt generate de divizorii lui 12: d∈{1,2,3,4,6,12}d \in \{1,2,3,4,6,12\}. Fiecare divizor dd generează un subgrup de ordin 12/d12/d.
61 punct
Numărul de subgrupuri distincte este egal cu numărul de divizori pozitivi ai lui 12, adică 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.