MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian. Determinați toate elementele de ordin finit din acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
23 puncte
Asociativitatea decurge din asociativitatea înmulțirii numerelor complexe.
32 puncte
Elementul neutru este 1∈G1 \in G deoarece ∣1∣=1|1|=1 și z⋅1=zz \cdot 1 = z pentru orice z∈Gz \in G.
42 puncte
Pentru orice z∈Gz \in G, inversul este z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} deoarece zzˉ=∣z∣2=1z \bar{z} = |z|^2 = 1 și ∣zˉ∣=1|\bar{z}|=1, deci zˉ∈G\bar{z} \in G.
51 punct
Comutativitatea înmulțirii numerelor complexe implică că grupul este abelian. Pentru elementele de ordin finit: un element z∈Gz \in G are ordin finit dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* cu zn=1z^n = 1; acestea sunt rădăcinile de ordin nn ale unității, adică z=e2πik/nz = e^{2\pi i k / n} pentru k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1, deci toate elementele de ordin finit sunt de forma e2πire^{2\pi i r} cu r∈Qr \in \mathbb{Q}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.