MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLogică matematică
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup în care pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează condiția dată: ∀x∈G,x2=e\forall x \in G, x^2 = e. Aceasta implică că fiecare element este propriul său invers, adică x−1=xx^{-1} = x.
24 puncte
Pentru orice a,b∈Ga, b \in G, se consideră (ab)2=e(ab)^2 = e din condiție. Folosind asociativitatea, (ab)2=abab=e(ab)^2 = abab = e. Înmulțind la stânga cu a−1a^{-1} și la dreapta cu b−1b^{-1}, și ținând cont că a−1=aa^{-1} = a și b−1=bb^{-1} = b, se obține a(abab)b=aeba(abab)b = aeb, adică a2bab2=aba^2 b a b^2 = ab, de unde e⋅ba⋅e=abe \cdot b a \cdot e = ab, rezultând ba=abba = ab.
33 puncte
Deoarece ab=baab = ba pentru orice a,b∈Ga, b \in G, grupul este comutativ, adică abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.