MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea G={x∈R∣x>0}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∗* definită prin a∗b=a⋅ba+b+1a * b = \frac{a \cdot b}{a + b + 1} pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătați că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem a∗b>0a * b > 0, deci operația ∗* este bine definită pe GG. \newline
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c) pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, folosind calcule algebrice. \newline
32 puncte
Găsiți elementul neutru e∈Ge \in G rezolvând ecuația a∗e=aa * e = a pentru a>0a > 0; obțineți e=1e = 1. \newline
43 puncte
Pentru fiecare a∈Ga \in G, găsiți inversul a−1a^{-1} rezolvând a∗a−1=1a * a^{-1} = 1; obțineți a−1=a+1a−1a^{-1} = \frac{a + 1}{a - 1} și verificați că a−1>0a^{-1} > 0 pentru a>0a > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.