MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Fie nn un număr natural nenul și SnS_n grupul simetric al permutărilor de grad nn. Considerăm mulțimea An={σ∈Sn∣σ este permutare para˘}A_n = \{ \sigma \in S_n \mid \sigma \text{ este permutare pară} \}. Demonstrați că AnA_n este subgrup al lui SnS_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătăm că AnA_n este nevidă: permutarea identitate este pară, deci aparține lui AnA_n.
23 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice σ,τ∈An\sigma, \tau \in A_n, σ\sigma și τ\tau sunt pare, deci στ\sigma \tau este pară (produsul a două permutări pare este par), deci στ∈An\sigma \tau \in A_n.
32 puncte
Verificăm existența inverselor: pentru orice σ∈An\sigma \in A_n, σ−1\sigma^{-1} este de aceeași paritate cu σ\sigma, deci pară, așadar σ−1∈An\sigma^{-1} \in A_n.
42 puncte
Concluzia: AnA_n este subgrup al lui SnS_n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.