MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={a+b2∣a,b∈Z}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} și operația de adunare ++. Verificați dacă (G,+)(G, +) este un grup. Apoi, considerați mulțimea H={a+b2∣a,b∈Z,a și b sunt pare}H = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}, a \text{ și } b \text{ sunt pare} \}. Demonstrați că HH este un subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificați că pentru orice x,y∈Gx,y \in G, x+y∈Gx+y \in G (închiderea), că adunarea este asociativă, că există elementul neutru 0=0+02∈G0 = 0 + 0\sqrt{2} \in G, și că pentru orice a+b2∈Ga+b\sqrt{2} \in G, inversul este −a−b2∈G-a - b\sqrt{2} \in G.\n
23 puncte
Arătați că HH este nevidă (de exemplu, 0∈H0 \in H) și că pentru orice h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H, h1+h2∈Hh_1 + h_2 \in H.\n
33 puncte
Pentru orice h=a+b2∈Hh = a+b\sqrt{2} \in H cu aa și bb pare, arătați că −h=−a−b2-h = -a - b\sqrt{2} are aa și bb pare, deci −h∈H-h \in H, ceea ce demonstrează că HH este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.