MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea M={z∈C∣∣z∣=1}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup abelian. b) Determinați toate subgrupurile finite ale lui (M,⋅)(M, \cdot).

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Mz_1, z_2 \in M, avem ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1⋅z2∈Mz_1 \cdot z_2 \in M.
21 punct
Asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci și pe MM este asociativă.
31 punct
Elementul neutru: 1∈M1 \in M deoarece ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Mz \in M, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Elemente simetrice: pentru orice z∈Mz \in M, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=z‾z^{-1} = \overline{z} și ∣z‾∣=1|\overline{z}| = 1, deci z‾∈M\overline{z} \in M și z⋅z‾=1z \cdot \overline{z} = 1.
51 punct
Comutativitatea: înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci și pe MM este comutativă. Așadar, (M,⋅)(M, \cdot) este grup abelian.
62 puncte
Pentru subgrupurile finite, se observă că acestea corespund mulțimilor rădăcinilor de ordin nn ale unității, adică Un={e2πik/n∣k=0,1,…,n−1}U_n = \{ e^{2\pi i k / n} \mid k = 0, 1, \dots, n-1 \} pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
72 puncte
Justificare: orice subgrup finit al lui MM este ciclic și generat de o rădăcină primitivă a unității, deci este de forma UnU_n pentru un nn natural.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.