MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și a,b∈Ga, b \in G astfel încât a2=b2=ea^2 = b^2 = e și ab=baab = ba, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că (ab)2=e(ab)^2 = e și deduceți că mulțimea H={e,a,b,ab}H = \{ e, a, b, ab \} este un subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se demonstrează că (ab)2=e(ab)^2 = e: din ab=baab = ba, avem (ab)2=abab=a(ba)b=a(ab)b=a2b2=e⋅e=e(ab)^2 = abab = a(ba)b = a(ab)b = a^2 b^2 = e \cdot e = e.
24 puncte
Se verifică că HH este închisă față de operația grupului: se consideră toate produsele posibile ale elementelor din HH și se arată că sunt în HH. De exemplu, e⋅x=x⋅e=xe \cdot x = x \cdot e = x pentru orice x∈Hx \in H, a⋅b=ab∈Ha \cdot b = ab \in H, a⋅ab=a2b=eb=b∈Ha \cdot ab = a^2 b = e b = b \in H, b⋅ab=bab=ab2=ae=a∈Hb \cdot ab = b a b = a b^2 = a e = a \in H (folosind ab=baab=ba), ab⋅ab=(ab)2=e∈Hab \cdot ab = (ab)^2 = e \in H, și similar pentru celelalte combinații.
33 puncte
Se arată că fiecare element din HH are invers în HH: e−1=e∈He^{-1} = e \in H, a−1=aa^{-1} = a deoarece a2=ea^2 = e, b−1=bb^{-1} = b deoarece b2=eb^2 = e, și (ab)−1=b−1a−1=ba=ab(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} = b a = ab (din ab=baab=ba și a2=b2=ea^2=b^2=e), deci (ab)−1=ab∈H(ab)^{-1} = ab \in H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.