MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriTeoria Mulțimilor
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup cu elementul neutru ee. Pentru un element fixat a∈Ga \in G, definim H={x∈G∣ax=xa}H = \{ x \in G \mid ax = xa \}. Demonstrați că HH este un subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătăm că HH este nevidă: deoarece ae=ea=aae = ea = a, avem e∈He \in H, deci H≠∅H \neq \emptyset.
24 puncte
Verificăm închiderea față de operația grupului: pentru orice x,y∈Hx, y \in H, avem ax=xaax = xa și ay=yaay = ya. Atunci a(xy)=(ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)aa(xy) = (ax)y = (xa)y = x(ay) = x(ya) = (xy)a, deci xy∈Hxy \in H.
33 puncte
Verificăm închiderea față de inversă: pentru orice x∈Hx \in H, avem ax=xaax = xa. Înmulțind la stânga cu x−1x^{-1} și la dreapta cu x−1x^{-1}, obținem x−1ax=x−1xa=ea=ax^{-1}ax = x^{-1}xa = ea = a, dar și x−1ax=ax−1x^{-1}ax = a x^{-1} (din ax=xaax=xa), deci ax−1=x−1aa x^{-1} = x^{-1}a, adică x−1∈Hx^{-1} \in H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.