MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Arătați că (M,∗)(M, *) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru x,y>−1x, y > -1, avem x∗y=x+y+xy>−1x * y = x + y + xy > -1 deoarece x+1>0x+1>0, y+1>0y+1>0 și (x+1)(y+1)>0(x+1)(y+1)>0, deci x∗y+1>0x*y+1>0.
23 puncte
Verificarea asociativității: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x+y+xy)*z = x+y+xy + z + (x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx * (y * z) = x*(y+z+yz) = x+y+z+yz + x(y+z+yz) = x+y+z+xy+xz+yz+xyz, deci egal.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm ee astfel încât x∗e=xx*e=x, adică x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x+e+xe=x \Rightarrow e(1+x)=0, deci e=0e=0 (deoarece x>−1x>-1, 1+x≠01+x \neq 0). Verificăm că 0∈M0 \in M și x∗0=0∗x=xx*0=0*x=x.
42 puncte
Elementul simetric: pentru x∈Mx \in M, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x*x'=0, adică x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx+x'+xx'=0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{1+x}. Deoarece x>−1x>-1, 1+x>01+x>0, deci x′>−1x'>-1, deci x′∈Mx' \in M.
51 punct
Concluzie: (M,∗)(M, *) verifică toate axiomele unui grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.