MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup. În caz afirmativ, determinați elementul neutru și simetricul fiecărui element x∈Gx \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru x,y>−1x, y > -1, avem x∗y=x+y+xy>−1x * y = x + y + xy > -1, deci x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz, iar x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx * (y * z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + yz + xyz, deci operația este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru ee: rezolvăm x∗e=xx * e = x pentru orice xx, adică x+e+xe=x⇒e(1+x)=0⇒e=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1 + x) = 0 \Rightarrow e = 0, și verificăm că 0∈G0 \in G și 0∗x=x0 * x = x.
43 puncte
Determinăm simetricul x′x' pentru fiecare x∈Gx \in G: rezolvăm x∗x′=0x * x' = 0, adică x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1 + x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1+x}, care există pentru x>−1x > -1 și x′>−1x' > -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.