MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie G=GL(2,R)G = GL(2, \mathbb{R}) grupul matricilor inversabile de ordin 2 cu elemente reale și operația de înmulțire a matricilor. Arătați că mulțimea H={A∈G∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in G \mid \det(A) = 1 \} este un subgrup normal al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm că HH este subgrup. Pentru orice A,B∈HA, B \in H, avem det⁡(A)=1\det(A) = 1 și det⁡(B)=1\det(B) = 1, atunci det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1, deci AB∈HAB \in H. Elementul neutru este I2I_2 (matricea identitate), cu det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈HI_2 \in H. Pentru orice A∈HA \in H, det⁡(A)=1\det(A) = 1, atunci det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1, deci A−1∈HA^{-1} \in H. Astfel, HH satisface condițiile de subgrup.
24 puncte
Arătăm că HH este normal. Pentru orice A∈GA \in G și B∈HB \in H, trebuie să demonstrăm că ABA−1∈HA B A^{-1} \in H. Calculăm determinantul: det⁡(ABA−1)=det⁡(A)det⁡(B)det⁡(A−1)=det⁡(A)⋅1⋅(1/det⁡(A))=1\det(A B A^{-1}) = \det(A) \det(B) \det(A^{-1}) = \det(A) \cdot 1 \cdot (1/\det(A)) = 1, deci det⁡(ABA−1)=1\det(A B A^{-1}) = 1, ceea ce implică ABA−1∈HA B A^{-1} \in H. Astfel, pentru orice A∈GA \in G, avem AHA−1⊆HA H A^{-1} \subseteq H, deci HH este subgrup normal.
33 puncte
Concluzionăm că HH este subgrup normal al lui GG, cunoscut în literatura de specialitate ca grupul special liniar SL(2,R)SL(2, \mathbb{R}), și subliniem importanța acestui rezultat în teoria grupurilor liniare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.