MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} mulțimea numerelor complexe de modul 1. Considerăm operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian. Apoi, demonstrați că orice subgrup finit al lui GG este ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Verificăm axiomele de grup: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G (închidere). Înmulțirea numerelor complexe este asociativă. Elementul neutru este 11, cu ∣1∣=1|1| = 1 și 1⋅z=z⋅1=z1 \cdot z = z \cdot 1 = z pentru orice z∈Gz \in G. Pentru orice z∈Gz \in G, inversul z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} satisface ∣z−1∣=1|z^{-1}| = 1 și z⋅z−1=1z \cdot z^{-1} = 1. Înmulțirea este comutativă, deci grupul este abelian.
26 puncte
Fie HH un subgrup finit al lui GG. Elementele lui HH au toate ordin finit. Considerăm argumentele numerelor din HH modulo 2π2\pi și fie θ\theta cel mai mic argument pozitiv. Arătăm că eiθe^{i\theta} generează HH: pentru orice h∈Hh \in H, argumentul său este un multiplu întreg al lui θ\theta, deci h=(eiθ)kh = (e^{i\theta})^k pentru un k∈Zk \in \mathbb{Z}. Astfel, HH este ciclic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.