MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie f:(R,+)→(C∗,⋅)f: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^*, \cdot) definită prin f(x)=e2πixf(x) = e^{2\pi i x} pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, unde C∗\mathbb{C}^* este mulțimea numerelor complexe nenule. Arătați că ff este un morfism de grupuri, determinați nucleul său și imaginea sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrați că f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, folosind proprietățile exponențialei complexe: e2πi(x+y)=e2πixe2πiye^{2\pi i (x+y)} = e^{2\pi i x} e^{2\pi i y}. \newline
23 puncte
Găsiți nucleul ker⁡(f)={x∈R∣f(x)=1}\ker(f) = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) = 1 \}; rezolvați e2πix=1e^{2\pi i x} = 1 pentru a obține x∈Zx \in \mathbb{Z}. \newline
34 puncte
Determinați imaginea Im(f)={f(x)∣x∈R}\text{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in \mathbb{R} \}; arătați că este cercul unitate {z∈C∣∣z∣=1}\{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și descrieți-l ca subgrup ciclic al lui C∗\mathbb{C}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.