MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operația de înmulțire obișnuită. Studiați dacă (M,⋅)(M, \cdot) formează un grup. Dacă da, demonstrați; dacă nu, specificați ce axiomă nu este satisfăcută.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea închiderii. Pentru orice x,y∈Mx,y \in M, x=a1+b12x = a_1 + b_1\sqrt{2}, y=a2+b22y = a_2 + b_2\sqrt{2}, atunci x⋅y=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2x \cdot y = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}, care este în MM deoarece coeficienții sunt întregi.
22 puncte
Asociativitatea este satisfăcută deoarece înmulțirea reală este asociativă.
32 puncte
Identitatea. Elementul neutru ar trebui să fie 1=1+02∈M1 = 1 + 0\sqrt{2} \in M, și 1⋅x=x⋅1=x1 \cdot x = x \cdot 1 = x pentru orice x∈Mx \in M.
43 puncte
Inversa. Pentru x=a+b2≠0x = a + b\sqrt{2} \neq 0, inversul în R\mathbb{R} este 1a+b2=a−b2a2−2b2\frac{1}{a + b\sqrt{2}} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}. Dar acesta nu este în general în MM deoarece aa2−2b2\frac{a}{a^2 - 2b^2} și −ba2−2b2\frac{-b}{a^2 - 2b^2} nu sunt întotdeauna întregi. De exemplu, pentru x=2x = \sqrt{2}, inversul este 12=22\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} care nu este în MM. Deci, nu toate elementele au inverse în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.