MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣A=(ab01),a≠0}G = \left\{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, a \neq 0 \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup și determinați dacă este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru A=(ab01),B=(cd01)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G, calculați AB=(acad+b01)AB = \begin{pmatrix} ac & ad+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; deoarece a,c≠0a,c \neq 0, avem ac≠0ac \neq 0, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea: (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC) pentru orice A,B,C∈GA,B,C \in G, deoarece înmulțirea matricelor este asociativă în M2(R)M_2(\mathbb{R}).
32 puncte
Elementul neutru: E=(1001)∈GE = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G și AE=EA=AAE = EA = A pentru orice A∈GA \in G.
42 puncte
Inversul: pentru A=(ab01)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G, inversul este A−1=(1/a−b/a01)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a & -b/a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; verificăm că AA−1=A−1A=EA A^{-1} = A^{-1} A = E și 1/a≠01/a \neq 0, deci A−1∈GA^{-1} \in G.
52 puncte
Abelinitatea: considerați A=(2001)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1101)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}; atunci AB=(2201)AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și BA=(2101)BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci AB≠BAAB \neq BA, așadar GG nu este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.