MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup. Se definește funcția f:G→Gf: G \to G prin f(x)=x2f(x) = x^2 pentru orice x∈Gx \in G. a) Demonstrați că dacă GG este abelian, atunci ff este un omomorfism de grupuri. b) Dați un exemplu de grup neabelian pentru care ff nu este omomorfism. c) Determinați condiția necesară și suficientă ca ff să fie injectivă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a), fie x,y∈Gx,y \in G. Dacă GG este abelian, atunci f(xy)=(xy)2=xyxy=x2y2=f(x)f(y)f(xy) = (xy)^2 = xyxy = x^2 y^2 = f(x)f(y), deci ff este omomorfism.
23 puncte
Pentru b), considerăm grupul simetric S3S_3 (neabelian). Fie σ=(1 2)\sigma = (1\ 2) și τ=(2 3)\tau = (2\ 3). Atunci f(στ)=((1 2)(2 3))2=(1 3 2)2=(1 2 3)f(\sigma \tau) = ((1\ 2)(2\ 3))^2 = (1\ 3\ 2)^2 = (1\ 2\ 3), iar f(σ)f(τ)=(1 2)2(2 3)2=id⋅id=idf(\sigma)f(\tau) = (1\ 2)^2 (2\ 3)^2 = \text{id} \cdot \text{id} = \text{id}. Deoarece (1 2 3)≠id(1\ 2\ 3) \neq \text{id}, ff nu este omomorfism.
33 puncte
Pentru c), ff este injectivă dacă și numai dacă pentru orice x,y∈Gx,y \in G, din f(x)=f(y)f(x) = f(y) rezultă x=yx = y. Adică, dacă x2=y2x^2 = y^2, atunci x=yx = y. Aceasta este echivalentă cu proprietatea că pătratul este injectiv pe GG, ceea ce poate fi reformulat ca: pentru orice x∈Gx \in G, ecuația x2=gx^2 = g are cel mult o soluție x∈Gx \in G pentru fiecare g∈Gg \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.