MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriTeoria Mulțimilor
Fie GG un grup finit cu ∣G∣=n|G| = n și fie HH un subgrup al lui GG cu ∣H∣=m|H| = m. Demonstrați că mm divide nn. Aplicați aceasta pentru a arăta că dacă GG este un grup ciclic de ordin 66, atunci orice subgrup al său are ordinul 1,2,3,1, 2, 3, sau 66.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea teoremei lui Lagrange. Considerăm relația de echivalență pe GG definită de x∼y⇔xH=yHx \sim y \Leftrightarrow xH = yH. Clasele de echivalență sunt clasele laterale stângi ale lui HH în GG. Toate clasele au cardinalul mm, și ele partitionează GG, deci n=m⋅kn = m \cdot k, unde kk este numărul de clase. Deci mm divide nn.
23 puncte
Aplicație pentru grupul ciclic de ordin 66. Fie G=⟨a⟩G = \langle a \rangle cu a6=ea^6 = e. Ordinul unui subgrup HH al lui GG trebuie să dividă 66, conform teoremei lui Lagrange. Deci ordinul lui HH poate fi 1,2,3,1, 2, 3, sau 66.
33 puncte
Explicație suplimentară: pentru grupul ciclic, subgrupurile sunt generate de puterile lui aa cu ordinele respective. De exemplu, subgrupul de ordin 22 este {e,a3}\{e, a^3\}, de ordin 33 este {e,a2,a4}\{e, a^2, a^4\}, etc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.