MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. Deoarece x≠−1x \neq -1 și y≠−1y \neq -1, trebuie să arătăm că x∗y≠−1x * y \neq -1. Presupunem că x∗y=−1x * y = -1, atunci xy+x+y=−1⇒xy+x+y+1=0⇒(x+1)(y+1)=0xy + x + y = -1 \Rightarrow xy + x + y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)(y+1) = 0, deci x=−1x = -1 sau y=−1y = -1, contradicție. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, avem (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Se observă că expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x * e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1) = 0. Deoarece x≠−1x \neq -1, avem e=0e = 0. Verificăm: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x, și 0∗x=0⋅x+0+x=x0 * x = 0 \cdot x + 0 + x = x, deci e=0e = 0 este elementul neutru.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Din x∗x′=xx′+x+x′=0⇒xx′+x′=−x⇒x′(x+1)=−xx * x' = xx' + x + x' = 0 \Rightarrow xx' + x' = -x \Rightarrow x'(x+1) = -x. Deoarece x≠−1x \neq -1, putem împărți: x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x+1}. Verificăm: x∗−xx+1=x⋅−xx+1+x+−xx+1=−x2x+1+x(x+1)x+1+−xx+1=−x2+x2+x−xx+1=0x * \frac{-x}{x+1} = x \cdot \frac{-x}{x+1} + x + \frac{-x}{x+1} = \frac{-x^2}{x+1} + \frac{x(x+1)}{x+1} + \frac{-x}{x+1} = \frac{-x^2 + x^2 + x - x}{x+1} = 0. Așadar, inversul există și este unic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.