MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz, deci sunt egale.
23 puncte
Găsim elementul neutru: căutăm e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Rezolvând x+e+xe=xx + e + xe = x, obținem e(1+x)=0e(1+x)=0, deci e=0e=0 (deoarece x≠−1x \neq -1). Verificăm că 0∈G0 \in G și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x.
34 puncte
Găsim elementul simetric: pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Rezolvând x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0, obținem x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x, deci x′=−xx+1x' = -\frac{x}{x+1} (valabilă pentru x≠−1x \neq -1). Verificăm că x′≠−1x' \neq -1 și x∗x′=x+(−xx+1)+x(−xx+1)=x(x+1)−x−x2x+1=0x * x' = x + (-\frac{x}{x+1}) + x(-\frac{x}{x+1}) = \frac{x(x+1) - x - x^2}{x+1} = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.