MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie GG un grup finit cu proprietatea că pentru orice x,y∈Gx, y \in G, (xy)2=x2y2(xy)^2 = x^2 y^2. Demonstrați că GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți egalitatea dată: (xy)2=x2y2(xy)^2 = x^2 y^2 pentru orice x,y∈Gx,y \in G.
23 puncte
Folosiți definiția pătratului în grup: (xy)2=xyxy(xy)^2 = xyxy și x2y2=xxyyx^2 y^2 = x x y y, deci xyxy=xxyyxyxy = x x y y.
33 puncte
Aplicați legile de anulare: înmulțiți la stânga cu x−1x^{-1} și la dreapta cu y−1y^{-1} pentru a obține x−1(xyxy)y−1=x−1(xxyy)y−1x^{-1} (xyxy) y^{-1} = x^{-1} (x x y y) y^{-1}, ceea ce dă yx=xyy x = x y.
42 puncte
Concluzia: deoarece xy=yxxy = yx pentru orice x,y∈Gx,y \in G, grupul GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.