MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și HH o submulțime nevidă a lui GG. Arătați că HH este subgrup al lui GG dacă și numai dacă pentru orice a,b∈Ha, b \in H, avem a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Presupunem că HH este subgrup. Atunci pentru a,b∈Ha, b \in H, deoarece HH este grup, b−1∈Hb^{-1} \in H, și prin închidere, a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H.
21 punct
Reciproc, presupunem că pentru orice a,b∈Ha, b \in H, a⋅b−1∈Ha \cdot b^{-1} \in H. Trebuie să demonstrăm că HH este subgrup: este nevidă, închisă la operație, conține elementul neutru și inversele.
32 puncte
Deoarece HH este nevidă, alegem a∈Ha \in H. Atunci din condiție, a⋅a−1=e∈Ha \cdot a^{-1} = e \in H, deci elementul neutru este în HH.
42 puncte
Pentru orice b∈Hb \in H, deoarece e∈He \in H, avem e⋅b−1=b−1∈He \cdot b^{-1} = b^{-1} \in H, deci inversele sunt în HH.
52 puncte
Pentru închidere, fie a,b∈Ha, b \in H. Atunci b−1∈Hb^{-1} \in H, deci a⋅(b−1)−1=a⋅b∈Ha \cdot (b^{-1})^{-1} = a \cdot b \in H, întrucât (b−1)−1=b(b^{-1})^{-1} = b. Astfel, HH este închisă la operație.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.