MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciDeterminanți
Fie G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} și operația de înmulțire a matricelor. Să se arate că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Apoi, să se determine ordinul elementului A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Verificăm că GG este parte stabilă: pentru orice A,B∈GA, B \in G, avem det⁡(A)=1\det(A) = 1 și det⁡(B)=1\det(B) = 1. Atunci det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈GAB \in G. Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor, care este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, cu det⁡(I2)=1\det(I_2)=1, deci I2∈GI_2 \in G, și pentru orice A∈GA \in G, avem A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A.
32 puncte
Pentru orice A∈GA \in G, există inversa A−1A^{-1} în M2(R)M_2(\mathbb{R}), iar det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G. Mai mult, A⋅A−1=A−1⋅A=I2A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2.
42 puncte
Pentru A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, calculăm puterile sale. A2=(0−110)⋅(0−110)=(−100−1)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, A3=A2⋅A=(−100−1)⋅(0−110)=(01−10)A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, A4=A3⋅A=(01−10)⋅(0−110)=(1001)=I2A^4 = A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2. Cel mai mic număr natural nn pentru care An=I2A^n = I_2 este n=4n=4, deci ordinul lui AA este 44.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.