MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriFuncția de gradul ILegi de compoziție
Fie mulțimea H={fa:R→R∣fa(x)=ax+b, a,b∈R, a≠0}H = \{ f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_a(x) = ax + b, \ a, b \in \mathbb{R}, \ a \neq 0 \} cu operația de compunere a funcțiilor. Arătați că (H,∘)(H, \circ) este un grup. Apoi, determinați dacă submulțimea K={fa∈H∣a=1}K = \{ f_a \in H \mid a = 1 \} este subgrup al lui HH.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea compunerii funcțiilor. Pentru orice fa,fb,fc∈Hf_a, f_b, f_c \in H, avem (fa∘fb)∘fc=fa∘(fb∘fc)(f_a \circ f_b) \circ f_c = f_a \circ (f_b \circ f_c), deoarece compunerea funcțiilor este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru este funcția identitate f1(x)=xf_1(x) = x, unde a=1a=1 și b=0b=0, deoarece fa∘f1=f1∘fa=faf_a \circ f_1 = f_1 \circ f_a = f_a pentru orice fa∈Hf_a \in H.
32 puncte
Inversul lui fa(x)=ax+bf_a(x) = ax + b este fa−1(x)=x−baf_{a^{-1}}(x) = \frac{x - b}{a}, unde a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}, deoarece fa∘fa−1=fa−1∘fa=f1f_a \circ f_{a^{-1}} = f_{a^{-1}} \circ f_a = f_1.
43 puncte
Pentru KK, verificăm: dacă f1,f1′∈Kf_1, f_1' \in K (cu a=1a=1), atunci f1∘f1′f_1 \circ f_1' are a=1a=1, deci este în KK; elementul neutru f1f_1 este în KK; inversul lui f1(x)=x+bf_1(x) = x + b este f1−1(x)=x−bf_1^{-1}(x) = x - b, care are a=1a=1, deci în KK. Astfel, KK este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.