MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab01)∣a,b∈R,a>0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a > 0 \right\}. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) formează un grup în raport cu înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice două matrice din MM, produsul lor este tot în MM (închiderea).
23 puncte
Arătați că înmulțirea matricelor este asociativă, ceea ce este adevărat în general pentru matrici.
32 puncte
Găsiți elementul neutru, care este matricea (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, și verificați că aparține lui MM.
43 puncte
Pentru o matrice (ab01)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, găsiți inversa (1a−ba01)\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și demonstrați că aparține lui MM și satisface condiția de invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.