MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Considerăm mulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că HH este un subgrup al grupului (GL2(R),⋅)(GL_2(\mathbb{R}), \cdot), unde GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) este grupul matricelor inversabile de ordin 2 cu operația de înmulțire a matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Arătăm că HH este nevidă: matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈HI_2 \in H.
24 puncte
Verificăm închiderea sub înmulțire: pentru orice A,B∈HA, B \in H, avem det⁡(A)=1\det(A) = 1 și det⁡(B)=1\det(B) = 1. Folosind proprietatea determinantului, det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)=1⋅1=1\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci A⋅B∈HA \cdot B \in H.
34 puncte
Verificăm existența inversei în HH: pentru orice A∈HA \in H, există A−1A^{-1} în GL2(R)GL_2(\mathbb{R}) deoarece det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0. Calculăm det⁡(A−1)=1det⁡(A)=11=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1, deci A−1∈HA^{-1} \in H. Așadar, HH este subgrup al lui GL2(R)GL_2(\mathbb{R}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.